2017년 제54회 세무사 1차 시험 재정학 28번

정답과 결론

정답은 ③이다. 투표자 C의 선호가 두 개의 봉우리를 가져 모든 투표자의 선호가 단봉형이라는 조건이 깨지므로 중위투표자 정리는 성립하지 않는다.

출제 포인트

단순다수결 투표로 세 개 이상의 대안 가운데 하나를 고를 때, 대안을 둘씩 맞붙이는 투표에서 이긴 결과들이 이행성을 갖지 않으면 투표의 역설이 생긴다. 이 문제는 주어진 선호표에서 직접 쌍대비교를 해 보고, 순환이 생기는지, 그 원인이 무엇인지, 그 결과 의사진행 순서가 승자를 바꿀 수 있는지를 확인하게 한다.

중위투표자 정리는 대안을 한 줄로 늘어놓을 수 있고 모든 투표자의 선호가 단봉형일 때, 중위투표자가 가장 선호하는 대안이 다수결에서 다른 모든 대안을 이긴다는 정리이다. 단봉형이란 가장 좋아하는 대안에서 어느 쪽으로든 멀어질수록 만족이 줄어드는 선호를 말한다.

선택지별 검토

먼저 쌍대비교 결과를 정리한다. x와 y를 비교하면 A와 C가 x를, B가 y를 지지하므로 x가 2 대 1로 이긴다. y와 z를 비교하면 A와 B가 y를, C가 z를 지지하므로 y가 이긴다. x와 z를 비교하면 A만 x를, B와 C가 z를 지지하므로 z가 이긴다. 결국 x가 y를, y가 z를, z가 x를 이기는 순환이 생긴다.

① 옳다. 사회적 선호에서 x가 y보다, y가 z보다 낫다면 이행성에 따라 x가 z보다 나아야 한다. 그런데 실제 투표에서는 z가 x를 이기므로 사회적 선호의 이행성이 충족되지 않는다. 개인 각자의 선호는 이행적이지만, 다수결로 묶은 사회적 선호는 이행성을 잃는다.

② 옳다. 개인들의 선호는 모두 합리적인데도 다수결의 결과가 순환하여 일관된 사회적 순위를 만들지 못하는 현상이 투표의 역설이다. 위에서 본 x, y, z 사이의 순환이 바로 투표의 역설이다.

③ 옳지 않다. 지출 규모를 x, y, z의 순서로 늘어놓으면 A는 x를 가장 좋아하고 멀어질수록 덜 좋아하므로 단봉형이다. B는 가운데인 y가 가장 좋고 z, x 순이므로 역시 단봉형이다. 그러나 C는 가장 큰 z를 가장 좋아하면서 가장 작은 x를 두 번째로, 가운데인 y를 가장 싫어한다. z에서 y로 줄어들 때 만족이 떨어졌다가 x로 더 줄어들 때 다시 올라가므로 봉우리가 두 개인 다봉형 선호이다. 중위투표자 정리의 전제가 깨졌으므로 정리는 성립하지 않으며, 실제로 중위 대안인 y도 z에 이기지만 x에 진다. 옳은 문장으로 고치면 「투표자 C의 선호가 단봉형이 아니므로 중위투표자 정리가 성립하지 않는다」가 된다.

④ 옳다. 꽁도세 방식은 대안을 둘씩 맞붙여 이긴 쪽을 다음 대안과 다시 비교하는 방식이다. x와 y를 먼저 붙이면 x가 이기고, 이어서 z와 붙이면 z가 최종 승자가 된다. y와 z를 먼저 붙이면 y가 이기고, 이어서 x와 붙이면 x가 최종 승자가 된다. x와 z를 먼저 붙이면 z가 이기고, 이어서 y와 붙이면 y가 최종 승자가 된다. 대진 순서에 따라 세 대안 모두가 승자가 될 수 있다.

⑤ 옳다. 대진 순서가 결과를 좌우하므로 안건 상정 순서를 정하는 사람은 자신이 원하는 대안이 이기도록 순서를 짤 수 있다. 예컨대 z를 원하는 의사진행자라면 x와 y를 먼저 붙인 뒤 승자를 z와 붙이면 된다. 이처럼 의사진행조작이 발생할 수 있다.

근거

공공선택론의 다수결 투표 이론이 근거이다. 애로가 보였듯이 다수결 같은 집단적 의사결정 방식은 개인의 선호가 이행적이어도 사회적 선호의 이행성을 보장하지 못한다. 블랙의 중위투표자 정리는 모든 투표자의 선호가 단봉형이라는 조건 아래에서만 다수결 균형이 존재하고 그 균형이 중위투표자의 최선 대안과 같음을 보인다. 이 문제에서는 C의 다봉형 선호가 그 조건을 깨뜨린다.

함정 정리

첫째, 투표의 역설이 생기는지는 직접 쌍대비교를 해 보아야 확실히 알 수 있다. 선호표의 모양만 보고 판단하지 말고, 세 쌍을 모두 비교해 순환 여부를 확인해야 한다.

둘째, 다봉형 선호를 찾을 때는 대안을 크기 순서로 늘어놓은 뒤, 각 투표자의 순위가 한 봉우리에서 양쪽으로 내려가는지를 확인한다. 이 문제처럼 가장 큰 대안과 가장 작은 대안을 둘 다 가운데보다 좋아하는 투표자가 있으면 다봉형이다.

셋째, 투표의 역설과 중위투표자 정리는 함께 성립할 수 없는 관계라는 점을 기억하면 빠르게 풀 수 있다. 순환이 생긴다면 다수결 균형이 없다는 뜻이므로, 중위투표자의 대안이 다수결 승자가 된다는 정리는 성립하지 않는다.